在曲线y=x^2上求一点,使过该点的切线与曲线y=x^2及OY轴所围区域的面积恰为该点的纵坐标

设此点为(a,a^2),
因为y'=2x,所以过此点的切线斜率为2a,故切线方程为
y-a^2=2a(x-a);即y=2ax-a^2;
(1)显然当a=0时切线为y=0(X轴),所围面积为0，纵坐标a^2=0符合条件，故(0,0)是一解。

(2)当a>0时，此直线与y=x^2，Y轴围成的面积为

积分(0,a){x^2-(2ax-a^2)}dx (积分(0,a)表示积分下限为0，上限为a)
=积分(0,a){(x-a)^2}d(x-a)
=(1/3)(x-a)^3|(0,a)
=(1/3)a^3=a^2 (已知条件）
所以a=3
故此点(3,9)；

(3)当a<0时，此直线与y=x^2，Y轴围成的面积为

积分(a,0){x^2-(2ax-a^2)}dx (积分(0,a)表示积分下限为0，上限为a)
=积分(a,0){(x-a)^2}d(x-a)
=(1/3)(x-a)^3|(a,0)
= -(1/3)a^3=a^2 (已知条件）
所以a= -3
故此点(-3,9)；

综上此点为(0,0)或(3,9)或(-3,9)

设此点为(a,a^2),
因为y'=2x,所以过此点的切线斜率为2a,故切线方程为
y-a^2=2a(x-a);即y=2ax-a^2;
(1)显然当a=0时切线为y=0(X轴),所围面积为0，纵坐标a^2=0符合条件，故(0,0)是一解。

(2)当a>0时，此直线与y=x^2，Y轴围成的面积为

积分(0,a){x^2-(2ax-a^2)}dx (积分(0,a)表示积分下限为0，上限为a)
=积分(0,a){(x-a)^2}d(x-a)
=(1/3)(x-a)^3|(0,a)
=(1/3)a^3=a^2 (已知条件）
所以a=3
故此点(3,9)；

(3)当a<0时，此直线与y=x^2，Y轴围成的面积为